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Anexo
- Ferramenta útil no cálculo das probabilidades
quando se utiliza a regra de Laplace - Análise Combinatória |
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A regra de
Laplace é muito útil na determinação
da probabilidade de acontecimentos associados a um espaço
de resultados discreto, quando os resultados são todos
igualmente possíveis. É neste ponto que se torna
útil a Análise Combinatória, como ferramenta
auxiliar nos problemas de contagens do número de resultados
que compõem o espaço de resultados e o acontecimento
de que se pretende calcular a probabilidade. De seguida são
apresentados alguns resultados retirados fundamentalmente de Graça
Martins et al. (1999).
Teorema
1 - Com m elementos a1, a2,...,
am e n elementos b1, b2, ...,
bn, é possível formar m
x n pares (ai, bj) contendo
um elemento de cada grupo.
Este teorema
pode ser generalizado para triplos, quádruplos, etc.
Exemplo
Suponhamos
que cada pessoa de uma população
pode ser classificada de acordo com 3 critérios:
sexo, estado civil e profissão. Admitindo
4 categorias para o estado civil e 15 profissões,
então
o número de elementos do espaço de
resultados associado ao fenómeno que consiste
em seleccionar uma pessoa ao acaso e classificá-la
segundo os 3 critérios é
2 x 4 x 15 = 120 |
Teorema 2 - Dada uma população
de n elementos, o número de amostras ordenadas distintas,
de dimensão r, que se podem seleccionar é :
- nr,
se a selecção for feita com reposição;
- n x (n-1) x (n-2) x ... x (n-r+1), se a selecção
for feita sem reposição.
Diz-se que
se tem um esquema de amostragem aleatória simples, quando
todas as amostras possíveis têm a mesma probabilidade
de serem seleccionadas, nomeadamente, 
ou 
quando se realiza a selecção com ou sem reposição,
respectivamente. Repare-se que quando n é grande e r relativamente
pequeno, 
, pelo que os dois esquemas de amostragem são praticamente
equivalentes.
Observação: Na amostragem com reposição
a probabilidade de que um elemento seja seleccionado, pelo menos
uma vez, é 
(Repare-se que se existem n elementos, e se selecciona aleatoriamente
um deles, a probabilidade de um dado elemento ser seleccionado é
1/n, pelo que a probabilidade de não ser seleccionado numa
extracção é (1-1/n) e nunca ser seleccionado
é (1-1/n)r, pelo que a probabilidade pretendida
é a que se considerou anteriormente, já que o acontecimento
ser seleccionado pelo menos uma vez é o complementar do
acontecimento nunca ser seleccionado).
Na amostragem sem reposição, a probabilidade de um
elemento da população ser seleccionado para uma amostra
de dimensão r é  .
Ao número de maneiras distintas de extrair ordenadamente
r elementos de um conjunto de n elementos, dá-se o nome de
arranjos completos ou arranjos simples,
de n r a r, conforme a selecção for feita com ou sem
reposição, respectivamente.
Arranjos completos (Arranjos com repetição)
Ao número de modos distintos de extrair ordenadamente e com
reposição, r elementos de um conjunto com n elementos,
dá-se o nome de arranjos completos de n, r a r e representa-se
por nA'r. Esse
número é igual a nr.
Tem-se então = nA'r
= nr
Os arranjos completos contam assim o número de maneiras possíveis
de arranjar, com possíveis repetições, sequências
de r elementos de um conjunto de cardinalidade n.
Arranjos simples (Arranjos
sem repetição)
Ao número de modos distintos de extrair ordenadamente e sem
reposição, r elementos de um conjunto com n elementos,
dá-se o nome de arranjos simples n, r a r e representa-se
por nAr. Esse número é
igual a
n x (n - 1) x ... x
(n - r + 1).
Tem-se então nAr = n x
(n - 1) x ... x (n
- r + 1) ou, de outro modo, 
Os arranjos simples contam assim o número de maneiras possíveis
de arranjar, sem repetições, sequências de
r elementos de um conjunto de cardinalidade n.
Note-se que tem de se ter sempre r
£
n.
Exemplo
Uma amostra aleatória de dimensão r, é seleccionada
de um população de dimensão n. Qual
a probabilidade de que na amostra não apareçam
elementos repetidos?
Estamos numa situação em que o número de casos possíveis é nr,
enquanto que o número de casos favoráveis é n x (n-1)
x (n-2) x ... x (n-r+1), pelo que a probabilidade pretendida é  .
Exemplo - Um elevador sobe com 7 pessoas e para em 10
andares. Qual a probabilidade de que não haja
2 pessoas a saírem no mesmo andar? Para responder
a esta questão admitimos que cada pessoa tem igual probabilidade de
abandonar o elevador em cada um dos andares. Então a probabilidade
pretendida será  =
0.06048.
Exemplo - Qual a probabilidade p de que, em r pessoas,
não haja 2 a fazer
anos no mesmo dia?
Admitindo que o ano tem sempre 365 dias, o problema consiste
em seleccionar r dias distintos, pelo que a probabilidade
pretendida é  .
Se se considerar r=23 verifica-se que p<1/2, isto é, se estiverem 23
pessoas numa sala, a probabilidade de que pelo menos duas façam anos no
mesmo dia é superior a 1/2. |
Corolário - O número de diferentes
ordenações de n elementos é n!
= n x (n - 1) x ... x 2 x 1.
A este número
chamamos permutação de n e representa-se por n! (lê-se
factorial de n).
O factorial de n conta assim
o número de maneiras de arranjar todos os elementos de um
conjunto de cardinalidade n numa sequência sem repetições.
Representa pois o número de permutações que
é possível fazer com n elementos distintos. Esse número
é igual a n x (n - 1) x
... x 2 x 1
Tem-se então n! = n x (n - 1)
x ... x 2 x
1.
Teorema 3 - Dada uma população de
n elementos, o número de maneiras distintas de dividir
os n elementos em k grupos distintos com n1, n2,
..., nk elementos respectivamente, é 
onde  .
Exemplo
Para
4 tipos de trabalho, para os quais existem respectivamente
6, 4,
5 e 5 vagas, candidataram-se 20 trabalhadores. Depois
de feita a atribuição dos candidatos aos 20
postos de trabalho, houve contestação da
parte de alguns trabalhadores que argumentaram que a selecção
não tinha sido feita aleatoriamente, já que
os 4 elementos pertencentes a determinado grupo étnico
estavam todos colocados no primeiro trabalho para o qual
havia 6 postos de trabalho e que era o que apresentava
piores condições. Se a atribuição
dos postos de trabalho tivesse sido feita de forma aleatória,
qual a probabilidade do acontecimento considerado?
Número de resultados possíveis =
Número de resultados favoráveis =
Probabilidade pretendida = =
0.0031.
Tendo em conta o valor, tão pequeno, obtido para a probabilidade é de
desconfiar que a atribuição tivesse sido aleatória. |
Como caso particular do resultado anterior, temos:
Teorema 4 - Dada uma população de
dimensão n, o número de amostras não
ordenadas (não interessa a ordem pela qual os
elementos são
seleccionados para a amostra) distintas ou subconjuntos
de dimensão
r, que se podem seleccionar da população, é dado
por  .
A este número chamamos combinações de
n r a r.
Combinações
O número de
subconjuntos de dimensão r que se podem formar de um conjunto S de
dimensão n é dado por  .
A esse número dá-se o nome de combinações de n, r
a r e representa-se por  ou
 .
Tem-se então  ou
 .
Ou ainda  ou
 .
Exemplo
Suponha
uma escola com 30 turmas, cada uma tendo 2 alunos que
pertencem ao Conselho Pedagógico (CP). Numa reunião
em que estão 30 alunos pertencentes ao CP, seleccionados
aleatoriamente, calcule a probabilidade dos seguintes
acontecimentos
A - uma dada turma está representada
B - todas as turmas estão representadas.
Para calcular a probabilidade da turma estar representada, é mais fácil
calcular a probabilidade da turma não estar representada, cuja probabilidade é  =
0.246. Então a probabilidade da turma estar representada é P(A)
= 1-0.246 = 0.754.
Para calcular a probabilidade do acontecimento B, repare-se
que o número
de casos favoráveis a B é 230, pelo que a probabilidade
pretendida será P(B) =  |
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